Taux d'évolution moyen et global

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On ne fait JAMAIS la moyenne des taux : on prend la racine n-ième du coefficient global.

0. Rappels indispensables

0.1 Puissances entières

$a^n$ = $a$ multiplié par lui-même $n$ fois.

0.2 Racines $n$-ièmes

La racine $n$-ième d'un nombre $A$, notée $\sqrt[n]{A}$ ou $A^{1/n}$, est le nombre dont la puissance $n$-ième vaut $A$.

Exemples :

• $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$
• $\sqrt[3]{27} = 3$ car $3^3 = 27$
• $\sqrt[4]{16} = 2$ car $2^4 = 16$

0.3 Notation puissance fractionnaire

$A^{1/n} = \sqrt[n]{A}$

Et plus généralement : $A^{p/q} = \sqrt[q]{A^p}$.

À la calculatrice :

• TI : utiliser ^ puis saisir (1/n) entre parenthèses
• Casio : pareil avec ^
• NumWorks : pareil

Exemple : pour $1{,}385^{1/4}$, taper : 1.385 ^ (1/4) → résultat $\approx 1{,}0848$.

0.4 Lien avec les pourcentages

Les coefficients multiplicateurs (chapitre 1) sont les nombres qu'on va élever à la puissance $n$ ou racine $n$ ici.

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1. Taux d'évolution global

1.1 Définition

Le taux d'évolution global entre une valeur initiale $V_0$ et une valeur finale $V_n$ (après $n$ périodes) est :

$t_g = \frac{V_n - V_0}{V_0} \times 100\%$

C'est une généralisation du taux d'évolution étudié au chapitre 1.

1.2 Coefficient multiplicateur global

$CM_{\text{global}} = \frac{V_n}{V_0} = 1 + \frac{t_g}{100}$

1.3 Exemple BTS CG 2025 (Partie A)

Le nombre d'entrées dans un écoparc est passé de $35\,645$ en 2013 à $60\,410$ en 2019.

Taux d'évolution global : $t_g = \frac{60\,410 - 35\,645}{35\,645} \times 100 \approx 69{,}48\%$

Le nombre d'entrées a augmenté d'environ $69{,}5\%$ sur la période 2013-2019.

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2. Taux d'évolution moyen (taux annuel moyen)

2.1 Idée intuitive

Un taux global de $69{,}5\%$ sur 6 ans ne signifie pas $\dfrac{69{,}5}{6} \approx 11{,}6\%$ par an !

En effet, les évolutions s'enchaînent en multiplication (chapitre 1, §3). Il faut donc trouver un taux $t_m$ tel que multiplier $n$ fois par $(1 + t_m)$ donne le coefficient global.

2.2 Formule

Si la valeur évolue de $V_0$ à $V_n$ en $n$ périodes au taux moyen $t_m$, alors :

$\left(1 + \frac{t_m}{100}\right)^n = \frac{V_n}{V_0}$

D'où la formule du taux moyen :

$\boxed{1 + \frac{t_m}{100} = \left(\frac{V_n}{V_0}\right)^{1/n}}$

Soit :

$t_m = \left[\left(\frac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1\right] \times 100\%$

2.3 Lien entre taux global et taux moyen

$\boxed{1 + \frac{t_g}{100} = \left(1 + \frac{t_m}{100}\right)^n}$

Cette formule fonctionne dans les deux sens :

• Si on connaît $t_m$ et $n$, on en déduit $t_g$
• Si on connaît $t_g$ et $n$, on en déduit $t_m$

2.4 Exemple BTS CG 2025

Nombre d'entrées passé de $35\,645$ en 2013 à $60\,410$ en 2019, soit $n = 6$ ans.

Taux annuel moyen : $1 + \frac{t_m}{100} = \left(\frac{60\,410}{35\,645}\right)^{1/6} \approx (1{,}6948)^{1/6} \approx 1{,}0917$

Donc $t_m \approx 9{,}17\%$.

2.5 Quelle est la durée $n$ ?

⚠️ Attention au calcul de $n$ : c'est le nombre de périodes, pas le nombre d'années !

Exemples :

• De 2013 à 2019 : $n = 2019 - 2013 = 6$ ans (donc 6 périodes)
• De 2017 à 2020 : $n = 3$ ans
• Sur 4 ans : $n = 4$

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3. Cas des évolutions successives non égales

3.1 Calcul du taux global

Si l'on a plusieurs taux d'évolution différents $t_1, t_2, \ldots, t_n$ sur $n$ périodes, le coefficient global est :

$CM_{\text{global}} = \left(1 + \frac{t_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{t_2}{100}\right) \times \cdots \times \left(1 + \frac{t_n}{100}\right)$

D'où : $t_g = (CM_{\text{global}} - 1) \times 100\%$

3.2 Le taux moyen même dans ce cas

Le taux moyen est toujours : $1 + \frac{t_m}{100} = (CM_{\text{global}})^{1/n}$

C'est une moyenne géométrique des coefficients (et non arithmétique).

3.3 Exemple

Une entreprise voit son chiffre d'affaires évoluer ainsi :

• année 1 : +10 %
• année 2 : −5 %
• année 3 : +8 %

Coefficient global : $1{,}10 \times 0{,}95 \times 1{,}08 \approx 1{,}1286$.

Taux global : $\approx 12{,}86\%$ (sur 3 ans).

Taux annuel moyen : $(1{,}1286)^{1/3} - 1 \approx 0{,}0413$, soit $\approx 4{,}13\%$ par an.

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4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer un taux global

Démarche :

1. Identifier $V_0$ (valeur initiale) et $V_n$ (valeur finale)
2. Appliquer : $t_g = \dfrac{V_n - V_0}{V_0} \times 100\%$
3. Arrondir selon la précision demandée

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer un taux annuel moyen (TEAM)

Démarche :

1. Identifier $V_0$, $V_n$ et $n$ (nombre de périodes)
2. Calculer $\dfrac{V_n}{V_0}$
3. Élever à la puissance $\dfrac{1}{n}$
4. Soustraire $1$
5. Multiplier par $100$ pour obtenir le pourcentage
6. Arrondir

Avec un taux global déjà connu :

1. Calculer $\left(1 + \dfrac{t_g}{100}\right)^{1/n} - 1$, multiplier par 100

🔧 MÉTHODE 3 — Retrouver le taux global à partir du taux moyen

Démarche :

1. Calculer $\left(1 + \dfrac{t_m}{100}\right)^n$
2. Soustraire $1$ et multiplier par $100$

🔧 MÉTHODE 4 — Vérifier qu'une évolution est conforme à un taux moyen

Démarche :

1. Calculer le taux observé sur la période
2. Comparer avec le taux moyen
3. Conclure

Exemple BTS CG 2023 : comparer une évolution observée (2019→2020) avec le taux annuel moyen (2016→2019).

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5. Notice calculatrice et tableur

5.1 Sur calculatrice

TI-83 Premium CE :

• Touche ^ pour les puissances
• Pour la racine $n$-ième : n √ A (ou A ^ (1/n))

Casio :

• Touche ^ pour les puissances
• SHIFT + ^ pour racine $n$-ième

NumWorks :

• Touche ^ pour les puissances
• Application Calculs : (60410/35645)^(1/6)

5.2 Sur Excel

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8. Fiche de synthèse

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9. Pour aller plus loin

Le chapitre 3 traitera des statistiques à deux variables et de la régression linéaire : comment ajuster un nuage de points par une droite et faire des prédictions.