Pourcentages, coefficients multiplicateurs et taux d'évolution

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Une hausse de +20 % équivaut à multiplier par 1,20 (coefficient multiplicateur CM).

0. Rappels indispensables

0.1 Trois écritures équivalentes d'un pourcentage

Règle : pour passer d'un pourcentage à un décimal, on divise par 100 (on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche).

Exemples :

• $7{,}5\% = 0{,}075$
• $0{,}5\% = 0{,}005$
• $125\% = 1{,}25$

0.2 Calculer un pourcentage d'une quantité

Pour calculer $p\%$ de $V$, on multiplie : $p\% \text{ de } V = \frac{p}{100} \times V$

Exemple 1 : $20\%$ de $80€$ = $\dfrac{20}{100} \times 80 = 0{,}20 \times 80 = 16€$.

Exemple 2 : $7{,}5\%$ de $1500€$ = $0{,}075 \times 1500 = 112{,}50€$.

0.3 Calculer un pourcentage à partir de deux valeurs

Pour calculer quel pourcentage représente $A$ par rapport à $B$ : $\text{pourcentage} = \frac{A}{B} \times 100\%$

Exemple : dans une classe de 25 élèves, 7 sont absents. Pourcentage d'absents : $\frac{7}{25} \times 100 = 28\%$

0.4 Arithmétique de base

C'est cette idée qui sera fondamentale dans tout le chapitre.

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1. Coefficient multiplicateur

1.1 Idée centrale

Augmenter ou diminuer une quantité revient à la multiplier par un nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur (CM).

1.2 Coefficient multiplicateur d'une augmentation

Augmenter une valeur $V$ de $p\%$ revient à la multiplier par : $\boxed{CM = 1 + \frac{p}{100}}$

Pourquoi ? Si $V$ augmente de $p\%$, on ajoute $\dfrac{p}{100} V$ à $V$. Donc la nouvelle valeur est $V + \dfrac{p}{100} V = V \times \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.

1.3 Coefficient multiplicateur d'une diminution

Diminuer une valeur $V$ de $p\%$ revient à la multiplier par : $\boxed{CM = 1 - \frac{p}{100}}$

1.4 Exemples concrets

Exemple 1 : un produit coûte $80€$. Il subit une hausse de $15\%$. Nouveau prix : $80 \times 1{,}15 = 92€$

Exemple 2 : un client bénéficie d'une remise de $20\%$ sur un article à $50€$. Prix payé : $50 \times 0{,}80 = 40€$

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2. Taux d'évolution

2.1 Définition

Le taux d'évolution entre une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$ se calcule par : $\boxed{t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100\%}$

2.2 Interprétation

• Si $t > 0$ : il y a eu augmentation de $|t|\%$
• Si $t < 0$ : il y a eu diminution de $|t|\%$
• Si $t = 0$ : pas d'évolution

2.3 Exemple BTS CG 2022 (Partie B)

En 2015, on comptait $3\,170$ millions d'internautes. En 2019, $4\,390$ millions.

Taux d'évolution global : $t = \frac{4\,390 - 3\,170}{3\,170} \times 100 \approx 38{,}49\%$

Le nombre d'internautes a augmenté d'environ $38{,}5\%$ entre 2015 et 2019.

2.4 Lien entre coefficient multiplicateur et taux d'évolution

Si le coefficient multiplicateur est $CM$, alors le taux d'évolution est : $t = (CM - 1) \times 100\%$

Exemples :

• $CM = 1{,}08$ → $t = 8\%$ (augmentation)
• $CM = 0{,}92$ → $t = -8\%$ (diminution)
• $CM = 1{,}5$ → $t = 50\%$ (augmentation)

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3. Évolutions successives

3.1 Le principe central

Quand plusieurs évolutions s'enchaînent, on multiplie les coefficients multiplicateurs (et NON les taux).

3.2 Erreur classique à éviter

❌ FAUX : « Une augmentation de 10 % suivie d'une augmentation de 20 % donne une augmentation de 30 %. »

✅ VRAI : $1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32$, soit une augmentation de 32 %.

3.3 Exemple

Un article coûte $100€$. Il subit successivement :

• une hausse de $10\%$
• puis une remise de $20\%$

Démarche :

• Après hausse : $100 \times 1{,}10 = 110€$
• Après remise : $110 \times 0{,}80 = 88€$

Coefficient global : $1{,}10 \times 0{,}80 = 0{,}88$ → diminution de $12\%$ par rapport au prix initial.

3.4 Augmentation puis diminution du même pourcentage

Une hausse de $20\%$ suivie d'une remise de $20\%$ donne : $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$

Soit une diminution finale de $4\%$ (et pas $0\%$).

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4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer la valeur après une évolution

Démarche :

1. Identifier la valeur initiale $V_i$ et le pourcentage $p$
2. Calculer le coefficient multiplicateur $CM$
3. Calculer la valeur finale : $V_f = V_i \times CM$

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer le taux d'évolution

Démarche :

1. Identifier la valeur initiale $V_i$ et la valeur finale $V_f$
2. Calculer la différence : $V_f - V_i$
3. Diviser par $V_i$
4. Multiplier par 100 pour obtenir un pourcentage
5. Conclure (augmentation/diminution selon le signe)

🔧 MÉTHODE 3 — Retrouver la valeur initiale connaissant la valeur finale et le taux

Démarche :

1. Calculer le coefficient multiplicateur $CM$
2. Diviser : $V_i = \dfrac{V_f}{CM}$

Exemple : un produit coûte $96€$ après une remise de $20\%$. Quel était le prix initial ? $V_i = \frac{96}{0{,}80} = 120€$

🔧 MÉTHODE 4 — Calculer le résultat d'évolutions successives

Démarche :

1. Calculer chaque coefficient multiplicateur
2. Multiplier tous les coefficients ensemble
3. Multiplier la valeur initiale par le coefficient global

🔧 MÉTHODE 5 — Identifier le taux global équivalent à plusieurs évolutions

Démarche :

1. Calculer le coefficient global (méthode 4)
2. En déduire le taux : $t = (CM_{\text{global}} - 1) \times 100\%$

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5. Notice calculatrice

Pour ce chapitre, aucune fonction spécifique n'est nécessaire. La calculatrice sert uniquement à effectuer les multiplications et divisions.

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6. Application au tableur Excel

6.1 Formule pour un taux d'évolution

Si $V_i$ est en cellule A1 et $V_f$ en cellule B1, la formule pour le taux d'évolution est :

=(B1-A1)/A1

Pour l'afficher en pourcentage, formater la cellule au format Pourcentage (clic droit → Format de cellule).

6.2 Recopier vers la droite

Pour calculer plusieurs taux successifs (exemple BTS 2025, ligne 3 du tableau) :

• Saisir en C3 : =(C2-B2)/B2
• Recopier vers la droite avec la poignée de recopie

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9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 2 traitera des taux d'évolution moyen et global : comment calculer un taux unique équivalent à plusieurs évolutions successives, et inversement, comment retrouver le taux annuel moyen à partir d'un taux global.