Statistiques à deux variables et régression linéaire

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La droite y = ax + b minimise la somme des carrés des écarts verticaux (en rouge).

0. Rappels indispensables

0.1 Lire un tableau à deux lignes

Un tableau à deux lignes associe à chaque valeur du haut une valeur du bas.

Exemple :

Cela donne les couples $(1\,;\,5)$, $(2\,;\,7)$, $(3\,;\,9)$, $(4\,;\,11)$.

0.2 Repère et coordonnées d'un point

Dans le plan, un point $M$ a deux coordonnées : $M(x\,;\,y)$.

• $x$ se lit sur l'axe horizontal (abscisses)
• $y$ se lit sur l'axe vertical (ordonnées)

0.3 Équation d'une droite

Une droite non verticale a une équation de la forme : $y = ax + b$

• $a$ est le coefficient directeur (la pente)
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de $y$ pour $x = 0$)

Comment interpréter $a$ ?

• $a > 0$ : la droite monte (de gauche à droite)
• $a < 0$ : la droite descend
• $a = 0$ : la droite est horizontale

0.4 Calculer une moyenne

La moyenne de plusieurs nombres est leur somme divisée par leur nombre : $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

0.5 Arrondir un nombre

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1. Notion de série statistique double

1.1 Définition

Une série statistique à deux variables est constituée de couples $(x_i\,;\,y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ représentent deux caractères mesurés sur les mêmes individus.

Exemple BTS CG 2022 : évolution de la proportion d'internautes en France :

1.2 Nuage de points

Le nuage de points est l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i\,;\,y_i)$ représentés dans un repère.

Le nuage permet de visualiser la forme de la relation entre $x$ et $y$ :

• alignés → relation affine (chapitre 3)
• forme courbe → relation non affine (chapitre 4)

1.3 Point moyen

Le point moyen $G$ a pour coordonnées : $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$

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2. Ajustement affine et droite de régression

2.1 Idée intuitive

Quand le nuage a une allure rectiligne, on cherche une droite qui « passe au mieux » à travers les points. Cette droite, appelée droite de régression de $y$ en $x$, permet ensuite de prévoir une valeur de $y$ pour une valeur de $x$ donnée.

2.2 Méthode des moindres carrés

La droite de régression d'équation $y = ax + b$ est celle qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite.

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3. Coefficient de corrélation linéaire

3.1 Définition

Le coefficient de corrélation linéaire, noté $r$, mesure l'intensité de la relation linéaire entre $x$ et $y$.

3.2 Propriétés essentielles

• $-1 \leq r \leq 1$
• Si $r$ est proche de $1$ : forte corrélation positive (nuage croissant et bien aligné)
• Si $r$ est proche de $-1$ : forte corrélation négative (nuage décroissant et bien aligné)
• Si $r$ est proche de $0$ : pas de corrélation linéaire

3.3 Critère de pertinence d'un ajustement affine

3.4 Sens de la corrélation

• $r > 0$ → nuage croissant
• $r < 0$ → nuage décroissant

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4. Notice calculatrice : régression linéaire et coefficient $r$

4.1 TI-83 Premium CE

Saisie des données :

1. stats → 1:Edite... → entrer les $x_i$ dans L1, les $y_i$ dans L2
2. Activer l'affichage de $r$ (à faire une seule fois) : 2nde → 0 (catalogue) → chercher DiagnosticOn → entrer (deux fois)

Calcul de la régression : 3. stats → CALC → 4:RégLin(ax+b) → entrer 4. Préciser les listes : RégLin(ax+b) L1, L2 → entrer

La calculatrice affiche $a$, $b$, $r^2$ et $r$.

4.2 Casio Graph 35+/90+

Saisie des données :

1. Menu STAT → entrer les $x_i$ dans List 1, les $y_i$ dans List 2

Calcul de la régression : 2. F2 (CALC) → F6 (SET) → vérifier 2Var XList: List 1 et 2Var YList: List 2 → EXIT 3. F2 (CALC) → F3 (REG) → F1 (X) → F1 (ax+b)

La calculatrice affiche $a$, $b$, $r$ et $r^2$.

4.3 NumWorks

Saisie des données :

1. Application Régressions → onglet Données
2. Entrer les $x_i$ dans la première colonne, les $y_i$ dans la deuxième
3. Choisir le modèle Linéaire

Lecture des résultats : 4. Onglet Graphique ou Statistiques

L'application affiche directement $a$, $b$ et $r$.

4.4 Calculer la prédiction sur la calculatrice simulée

Une fois $a$ et $b$ obtenus, prédire revient à un simple calcul $a \times x + b$.

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5. Utilisation du modèle : prédiction

5.1 Estimer une valeur de $y$ pour un $x$ donné

Une fois l'équation $y = ax + b$ obtenue, on remplace simplement $x$ par sa valeur :

Exemple BTS CG 2022 : modèle $y = 1{,}3x + 78$. Pour 2023 (rang $x = 8$) : $y = 1{,}3 \times 8 + 78 = 10{,}4 + 78 = 88{,}4$

Selon ce modèle, environ 88,4 % des Français utiliseront Internet en 2023.

5.2 Estimer un $x$ pour un $y$ donné (équation à résoudre)

On résout $ax + b = y_{\text{cible}}$.

Exemple BTS CG 2022 : quand la proportion dépassera-t-elle $90\%$ ? $1{,}3x + 78 > 90 \iff 1{,}3x > 12 \iff x > \frac{12}{1{,}3} \approx 9{,}23$

Le plus petit entier est $x = 10$, soit l'année $2015 + 10 = 2025$.

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6. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Justifier qu'un ajustement affine est pertinent

Énoncé typique : « Expliquer pourquoi un ajustement affine est envisageable. »

Démarche :

1. Calculer $r$ à la calculatrice
2. Comparer $|r|$ à $0{,}95$
3. Conclure :
   • Si $|r| \geq 0{,}95$ : « Comme $|r| \geq 0{,}95$, un ajustement affine est pertinent. »

🔧 MÉTHODE 2 — Donner l'équation de la droite de régression

Démarche :

1. Saisir les données dans la calculatrice
2. Lancer la régression linéaire
3. Lire les valeurs de $a$ et $b$
4. Arrondir selon la précision demandée
5. Écrire l'équation : $y = ax + b$

🔧 MÉTHODE 3 — Faire une prédiction

Démarche :

1. Identifier la valeur de $x$ donnée
2. Remplacer dans l'équation $y = ax + b$
3. Calculer
4. Arrondir et interpréter dans le contexte

🔧 MÉTHODE 4 — Résoudre une inéquation $ax + b > k$

Démarche :

1. Soustraire $b$ : $ax > k - b$
2. Diviser par $a$. Attention au signe :
   • Si $a > 0$ : sens conservé
   • Si $a < 0$ : sens inversé
3. Trouver le plus petit entier $x$ vérifiant l'inégalité
4. Traduire en année réelle si nécessaire

🔧 MÉTHODE 5 — Identifier la pertinence du modèle dans un contexte changeant

Si l'environnement a changé (crise, pandémie, nouveau marché), le modèle peut ne plus être valable. Il faut souvent le mentionner dans la conclusion.

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9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 4 traitera des cas où le nuage n'est pas rectiligne : on utilisera alors un changement de variable (souvent $z = \ln(y)$) pour se ramener à un ajustement linéaire.