Suites arithmétiques et géométriques : modèles d'évolution

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Arithmétique : on AJOUTE r → croissance linéaire. Géométrique : on MULTIPLIE par q → croissance exponentielle.

0. Rappels indispensables

0.1 Qu'est-ce qu'une suite ?

Une suite numérique $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres : $u_0,\ u_1,\ u_2,\ u_3,\ \ldots,\ u_n,\ \ldots$

• $n$ est l'indice (entier naturel)
• $u_n$ est le terme d'indice $n$ (ou « terme général »)

0.2 Deux modes de définition

Mode 1 — Définition par une formule explicite

$u_n = 100 \times 1{,}05^n$

Pour calculer un terme, on remplace $n$ par sa valeur :

• $u_0 = 100 \times 1 = 100$
• $u_5 = 100 \times 1{,}05^5 \approx 127{,}63$

Mode 2 — Définition par récurrence

On donne le premier terme et une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$ : $u_0 = 100 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n$

On calcule de proche en proche :

• $u_1 = 1{,}05 \times 100 = 105$
• $u_2 = 1{,}05 \times 105 = 110{,}25$
• etc.

0.3 Les puissances

0.4 Logarithme et inéquation

Pour résoudre $a^n > k$ avec $a > 1$ et $k > 0$ :

1. Appliquer $\ln$ : $\ln(a^n) > \ln(k)$
2. Utiliser $\ln(a^n) = n \ln(a)$ : $n \ln(a) > \ln(k)$
3. Diviser par $\ln(a) > 0$ (sens conservé) : $n > \dfrac{\ln(k)}{\ln(a)}$

0.5 Augmentation et diminution en pourcentage (rappel chapitre 1)

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1. Suites arithmétiques

1.1 Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant une même quantité $r$ :

$u_{n+1} = u_n + r$

1.2 Caractérisation

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on montre que la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante.

1.3 Formule explicite

Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ : $u_n = u_0 + n r$

1.4 Exemple

Le salaire d'un employé augmente de $50€$ par mois. Si $u_0 = 1500€$ alors :

• $u_n = 1500 + 50 n$
• $u_{12} = 1500 + 600 = 2100€$ après 12 mois

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2. Suites géométriques

2.1 Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une même quantité $q$ :

$u_{n+1} = q \times u_n$

2.2 Caractérisation

Pour montrer qu'une suite est géométrique, on montre que le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.

2.3 Formule explicite

Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ : $\boxed{u_n = u_0 \times q^n}$

2.4 Lien avec les pourcentages

C'est LE point clé pour le BTS CG : quand une grandeur augmente (ou diminue) de $p\%$ chaque période, elle suit une suite géométrique de raison : $q = 1 + \frac{p}{100} \quad (\text{ou } q = 1 - \frac{p}{100} \text{ pour une diminution})$

2.5 Exemple BTS CG 2022

Le nombre d'internautes dans le monde augmente de $8{,}5\%$ par an. Avec $u_0 = 4\,390$ (en millions) :

• Suite géométrique de raison $q = 1{,}085$
• $u_n = 4\,390 \times 1{,}085^n$
• $u_4 = 4\,390 \times 1{,}085^4 \approx 6\,083$ millions

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3. Justifier qu'une suite est géométrique

3.1 Cas où l'énoncé donne le pourcentage

Énoncé typique : « Le nombre augmente de 8,5 % chaque année. »

Rédaction type :

« Augmenter de $8{,}5\%$ chaque année revient à multiplier par $1{,}085$. Donc $u_{n+1} = 1{,}085 \times u_n$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q = 1{,}085$. »

3.2 Cas où l'énoncé donne la relation de récurrence

Énoncé typique : « $u_{n+1} = 1{,}3 \times u_n$. »

Rédaction type :

« On a $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1{,}3$, qui est constant. Donc $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}3$. »

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4. Résoudre $u_n > k$ ou $u_n \geq k$

4.1 Démarche par calcul

Démarche :

1. Écrire $u_n = u_0 \times q^n > k$
2. Diviser par $u_0$ : $q^n > \dfrac{k}{u_0}$
3. Appliquer $\ln$ (croissant) : $n \ln(q) > \ln\left(\dfrac{k}{u_0}\right)$
4. Diviser par $\ln(q)$. Attention au signe :
   • Si $q > 1$, alors $\ln(q) > 0$, sens conservé : $n > \dfrac{\ln(k/u_0)}{\ln(q)}$
   • Si $0 < q < 1$, alors $\ln(q) < 0$, sens inversé
5. Le plus petit entier $n$ vérifiant l'inégalité est la solution
6. Traduire dans le contexte (en année réelle si nécessaire)

4.2 Exemple

Le nombre $u_n$ d'internautes (en millions) est donné par $u_n = 4\,390 \times 1{,}085^n$, avec $u_0$ en 2019.

À partir de quelle année $u_n$ dépasse-t-il $7\,000$ ?

$4\,390 \times 1{,}085^n > 7\,000 \iff 1{,}085^n > \frac{7\,000}{4\,390} \approx 1{,}594$

$n \ln(1{,}085) > \ln(1{,}594) \iff n > \frac{\ln(1{,}594)}{\ln(1{,}085)} \approx \frac{0{,}466}{0{,}0816} \approx 5{,}71$

Le plus petit entier est $n = 6$, soit l'année $2019 + 6 = 2025$.

4.3 Démarche par tableau de valeurs

À la calculatrice (mode TABLE), on peut faire défiler les valeurs $u_n$ et lire directement à partir de quel $n$ le seuil est dépassé. C'est rapide et fiable.

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5. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer les premiers termes

Démarche :

1. Identifier $u_0$ (ou $u_1$) et la relation de récurrence
2. Appliquer la relation de proche en proche
3. Arrondir si l'énoncé le demande

🔧 MÉTHODE 2 — Justifier qu'une suite est géométrique

Démarche :

• Cas pourcentage donné : « augmenter de $p\%$ revient à multiplier par $1 + p/100$, donc $u_{n+1} = (1 + p/100) u_n$, géométrique de raison $1 + p/100$ »
• Cas relation donnée : calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est constant

🔧 MÉTHODE 3 — Exprimer $u_n$ en fonction de $n$

Démarche :

1. Identifier $u_0$ et la raison $q$
2. Écrire $u_n = u_0 \times q^n$
3. C'est tout (formule directe)

🔧 MÉTHODE 4 — Calculer une valeur précise (prédiction)

Démarche :

1. Identifier le rang $n$ (attention au décalage : si $u_0$ correspond à 2019, alors 2025 → $n = 6$)
2. Remplacer dans $u_n = u_0 \times q^n$
3. Calculer à la calculatrice
4. Arrondir et interpréter

🔧 MÉTHODE 5 — Résoudre $u_n > k$ (seuil)

Démarche : voir §4 ci-dessus.

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6. Notice calculatrice

6.1 Calcul rapide des termes (mode SUITE)

TI-83 Premium CE :

• mode → choisir SEQ (mode SUITE)
• f(x) (Y=) → définir u(n) avec la récurrence et u(nMin) pour le premier terme
• 2nde → graph (TABLE) pour voir les valeurs

Casio Graph :

• Menu RECUR → TYPE → choisir « $a_{n+1} = \ldots$ »
• Saisir la formule et le premier terme
• TABL pour afficher les valeurs

NumWorks :

• Application Suites
• Choisir le mode (récurrence d'ordre 1 : $u_{n+1} = f(u_n)$)
• Saisir la formule et $u_0$
• Onglet Valeurs pour afficher le tableau

6.2 Recherche de seuil

À la calculatrice (mode tableau), on fait défiler les valeurs jusqu'à dépasser le seuil. Très efficace.

6.3 Calcule un terme directement

Sans mode SUITE, tu peux aussi calculer un terme à la main avec la formule explicite. Exemple : $u_n = 1000 \times 1{,}05^n$, calcule $u_{12}$.

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7. Application Excel

7.1 Calculer une suite récurrente

Recopier vers le bas.

7.2 Formule directe

Si on connaît $u_0$, $q$ et que la colonne A contient $n$ :

=u_0 * q^A2

Par exemple pour $u_0 = 4390$ et $q = 1{,}085$ :

=4390*1,085^A2

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N ← 0
U ← 663
Tant que .........
    N ← .......
    U ← 1,3 × U
Fin Tant que
Afficher N

10. Fiche de synthèse

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11. Pour aller plus loin

Le chapitre 6 traitera de l'algorithmique : lecture, exécution et complétion d'algorithmes — un outil naturel pour étudier les suites et résoudre des problèmes de seuil.