Algorithmique : lecture, exécution et seuils

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▷ Pas suivantRéinitialiserExemple : u₀ = 100 · f(u) = u × 1,05 · seuil = 130

Étape 1·Initialisation

On prépare les variables avant la boucle. Ici n démarre à 0 (compteur de tours) et u prend sa valeur de départ u₀.

État · pas 1/15

n = 0u = 100.00

n ← 0, u ← 100

Clique sur un bloc pour lire son rôle, ou utilise « Pas suivant » pour exécuter l'algo étape par étape.

0. Rappels indispensables

0.1 Qu'est-ce qu'un algorithme ?

Un algorithme est une suite d'instructions à exécuter dans un ordre précis pour obtenir un résultat. C'est en quelque sorte une « recette de cuisine » mathématique.

Exemple simple : « Pour calculer la somme de deux nombres :

1. Demander le premier nombre, l'appeler $a$
2. Demander le deuxième nombre, l'appeler $b$
3. Calculer $s = a + b$
4. Afficher $s$ »

0.2 Variables

Une variable est une « case mémoire » qui stocke une valeur. On peut :

• lui affecter une valeur (signe ← ou :=)
• la lire (utiliser sa valeur dans un calcul)
• la modifier (lui affecter une nouvelle valeur)

Exemple :

n ← 5            # n vaut 5
n ← n + 1        # n vaut maintenant 6

0.3 Symboles utilisés

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1. Structures de base

1.1 Affectation

Donne une valeur à une variable.

N ← 0
U ← 663

Après ces lignes : $N$ vaut $0$ et $U$ vaut $663$.

1.2 Boucle « Tant que »

Répète des instructions tant qu'une condition est vraie.

Tant que condition
    instructions
Fin Tant que

Fonctionnement :

1. Tester la condition
2. Si vraie : exécuter les instructions, puis retester
3. Si fausse : sortir de la boucle

1.3 Boucle « Pour »

Répète des instructions un nombre fixé de fois.

Pour i allant de 1 à 10
    instructions
Fin Pour

1.4 Test conditionnel « Si »

Si condition
    instructions
Sinon
    autres instructions
Fin Si

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2. Exécution pas à pas d'un algorithme

2.1 La méthode du tableau

Pour exécuter un algorithme à la main, on construit un tableau avec une ligne par variable et une colonne par étape.

Exemple :

N ← 0
U ← 100
Tant que U < 200
    N ← N + 1
    U ← 1,2 × U
Fin Tant que

À la sortie : $N = 4$ et $U \approx 207{,}36$.

2.2 Conseil pratique

• Toujours mettre à jour les variables dans l'ordre où elles apparaissent dans la boucle
• Tester la condition après chaque mise à jour complète
• Marquer en gras la ligne où la condition devient fausse

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3. Algorithme de seuil pour une suite (cas BTS CG 2024)

3.1 Principe

L'algorithme de seuil cherche le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse (ou descende sous) un seuil donné.

3.2 Cas BTS CG 2024 (Partie C)

N ← 0
U ← 663
Tant que U ≤ 100 000
    N ← N + 1
    U ← 1,3 × U
Fin Tant que
Afficher N

Que fait cet algorithme ?

Il cherche le premier $N$ tel que $u_N > 100\,000$, où la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 663$ et $u_{n+1} = 1{,}3 \times u_n$.

Exécution (résumé) :

À la sortie : $N = 20$.

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4. Compléter un algorithme à trous

4.1 Identifier les éléments à compléter

Au BTS CG 2024, l'algorithme était présenté avec des trous :

N ← 0
U ← 663
Tant que .........
    N ← .......
    U ← 1,3 × U
Fin Tant que
Afficher N

4.2 Démarche

Étape 1 : identifier ce que cherche l'algorithme (par exemple : « trouver le rang à partir duquel le nombre de téléchargements dépasse 100 000 »).

Étape 2 : identifier la condition de boucle :

• « tant que c'est encore en dessous du seuil » → U ≤ 100 000 (ou U < 100 000)
• Si on cherche à descendre sous un seuil : U ≥ seuil (ou U > seuil)

Étape 3 : identifier l'incrémentation :

• Pour avancer d'un rang : N ← N + 1

Étape 4 : vérifier que l'algorithme s'arrête bien (la condition doit pouvoir devenir fausse).

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5. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Exécuter un algorithme à la main

Démarche :

1. Lister les variables et leurs valeurs initiales
2. Construire un tableau avec une ligne par étape
3. Exécuter chaque instruction de la boucle
4. À chaque tour, tester la condition : continuer ou sortir
5. Donner la valeur finale des variables demandées

🔧 MÉTHODE 2 — Identifier ce que fait un algorithme

Démarche :

1. Repérer la suite étudiée (formule de récurrence, exemple : $U \leftarrow 1{,}3 \times U$ → suite géométrique de raison $1{,}3$)
2. Repérer le seuil (dans la condition de la boucle)
3. Conclure : « L'algorithme cherche le plus petit $N$ tel que $u_N > \text{seuil}$. »

🔧 MÉTHODE 3 — Compléter une condition de boucle

Démarche :

1. Identifier le but (dépasser un seuil, descendre sous un seuil)
2. Si l'algorithme doit s'arrêter dès que $U > \text{seuil}$ : la condition de boucle est U ≤ seuil
3. Si l'algorithme doit s'arrêter dès que $U < \text{seuil}$ : la condition de boucle est U ≥ seuil

🔧 MÉTHODE 4 — Interpréter le résultat

Démarche :

1. Lire l'énoncé pour comprendre ce que représentent $N$ et $U$
2. Traduire la valeur finale dans le contexte
3. Si $N$ représente un rang d'année ou de mois, le convertir en date réelle

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6. Notice : utiliser la calculatrice pour un algorithme

6.1 TI-83 Premium CE

• Appuyer sur prgm → NOUV → entrer le nom du programme
• Saisir l'algorithme avec prgm → choisir les commandes (While, End, etc.)
• Exécuter avec prgm → choisir le programme

6.2 NumWorks

• Application Python
• Écrire l'algorithme :

N = 0
U = 663
while U <= 100000:
    N = N + 1
    U = 1.3 * U
print(N)

• Exécuter en cliquant sur Run

6.3 Casio Graph

• Menu PRGM → créer un programme
• Saisir avec les commandes équivalentes

6.4 Astuce universelle (sans programmation)

On peut utiliser le mode tableau (TBL) avec la suite et faire défiler les valeurs jusqu'à dépasser le seuil. C'est rapide et fiable, sans avoir besoin de programmer.

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N ← 0
U ← 200
Tant que U > 50
    N ← N + 1
    U ← 0,8 × U
Fin Tant que
Afficher N

N ← 0
U ← 663
Tant que .........
    N ← .......
    U ← 1,3 × U
Fin Tant que
Afficher N

9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 7 entamera le bloc Probabilités avec les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés, notion incontournable du BTS CG (4 sessions sur 4 !).