Changement de variable et ajustement non linéaire

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Quand le nuage suit une exponentielle y = b·aˣ, on pose Y = ln(y) → la régression devient linéaire.

0. Rappels indispensables

0.1 La fonction logarithme népérien $\ln$

Le logarithme népérien, noté $\ln$, est une fonction définie pour les nombres strictement positifs.

• $\ln(1) = 0$
• $\ln(\mathrm{e}) = 1$ (où $\mathrm{e} \approx 2{,}718$)
• $\ln(x)$ n'existe pas si $x \leq 0$

À la calculatrice, la touche ln permet de calculer le logarithme d'un nombre.

Exemples :

• $\ln(10) \approx 2{,}303$
• $\ln(100) \approx 4{,}605$
• $\ln(530) \approx 6{,}273$ (cf. exemple BTS 2023 ci-dessous)

0.2 La fonction exponentielle $\exp$

L'exponentielle, notée $\mathrm{e}^x$ ou $\exp(x)$, est définie pour tout réel $x$.

• $\mathrm{e}^0 = 1$
• $\mathrm{e}^1 \approx 2{,}718$
• $\mathrm{e}^x$ est toujours strictement positive

0.3 Lien entre $\ln$ et $\exp$

$\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques :

$\ln(\mathrm{e}^x) = x \quad \text{et} \quad \mathrm{e}^{\ln(x)} = x \ \ (\text{pour } x > 0)$

Conséquence très utile : $\ln(A) = B \iff A = \mathrm{e}^B$

C'est cette propriété qui permettra de revenir à $y$ après un changement de variable.

0.4 Propriétés algébriques

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1. Pourquoi un changement de variable ?

1.1 Le problème

Quand un nuage de points n'est pas aligné, on ne peut pas directement faire un ajustement affine. Si on essaie quand même, le coefficient $|r|$ sera trop faible ($< 0{,}95$).

1.2 L'idée du changement de variable

L'idée est de transformer les valeurs de $y$ en de nouvelles valeurs $z$ telles que les nouveaux points $(x\,;\,z)$ soient alignés. On peut alors appliquer la régression linéaire sur les nouvelles données.

Une fois la relation $z = ax + b$ trouvée, on revient à $y$ via la relation entre $z$ et $y$.

1.3 Cas typique au BTS CG

Au BTS CG, le changement de variable utilisé est le plus simple : $z = \ln(y)$

Cela correspond à une croissance exponentielle de $y$.

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2. La démarche complète en 5 étapes

Étape 1 — Constater que l'ajustement direct n'est pas pertinent

Soit graphiquement (le nuage n'est pas rectiligne), soit en calculant $r$ et en montrant que $|r| < 0{,}95$.

Étape 2 — Effectuer le changement de variable

L'énoncé donne la relation : par exemple $z = \ln(y)$.

On construit un nouveau tableau :

Étape 3 — Vérifier la pertinence de l'ajustement affine sur $(x\,;\,z)$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r'$ de la série $(x\,;\,z)$.

• Si $|r'| \geq 0{,}95$ : l'ajustement est pertinent, on continue.
• Comparer avec le $|r|$ initial pour montrer l'amélioration.

Étape 4 — Déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$

À la calculatrice : $z = ax + b$.

Étape 5 — Revenir à $y$ en fonction de $x$

C'est l'étape clé. Pour le cas $z = \ln(y)$ : $z = \ln(y) \iff y = \mathrm{e}^z$

En remplaçant $z$ par $ax + b$ : $y = \mathrm{e}^{ax + b} = \mathrm{e}^b \times \mathrm{e}^{ax}$

En posant $A = \mathrm{e}^b$ : $\boxed{y = A \times \mathrm{e}^{ax}}$

C'est une fonction exponentielle.

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3. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Compléter un tableau après changement de variable

Énoncé typique : « Calculer les valeurs $z_i = \ln(y_i)$ pour compléter le tableau. »

Démarche :

1. Pour chaque valeur de $y_i$, calculer $\ln(y_i)$ à la calculatrice
2. Arrondir selon la précision demandée (souvent à $0{,}001$)
3. Reporter dans le tableau

Exemple : $y = 530$ → $z = \ln(530) \approx 6{,}273$.

🔧 MÉTHODE 2 — Comparer deux ajustements

Énoncé typique : « Comparer les coefficients de corrélation et préciser quel ajustement est plus pertinent. »

Démarche :

1. Calculer $r$ pour la série $(x\,;\,y)$
2. Calculer $r'$ pour la série $(x\,;\,z)$
3. Comparer $|r|$ et $|r'|$ : celui qui est le plus proche de 1 correspond au meilleur ajustement
4. Conclure

🔧 MÉTHODE 3 — Utiliser le modèle linéaire $z = ax + b$ pour une prédiction

Démarche :

1. Remplacer $x$ par sa valeur dans $z = ax + b$
2. Si la question demande $y$ : calculer $y = \mathrm{e}^z$
3. Arrondir et interpréter

Important : une question typique BTS CG s'arrête souvent à l'étape « $y$ », sans demander de manipuler la forme exponentielle.

🔧 MÉTHODE 4 — Repasser de $z = ax + b$ à $y = f(x)$

Démarche :

1. Partir de $z = ax + b$
2. Remplacer $z$ par $\ln(y)$ : $\ln(y) = ax + b$
3. Appliquer l'exponentielle : $y = \mathrm{e}^{ax + b}$
4. Décomposer : $y = \mathrm{e}^b \times \mathrm{e}^{ax}$
5. Calculer $A = \mathrm{e}^b$
6. Écrire la forme finale : $y = A \times \mathrm{e}^{ax}$

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4. Notice calculatrice

Pour calculer $z_i = \ln(y_i)$, deux options :

Option 1 : calcul manuel

Pour chaque valeur, taper ln(530), ln(645), etc.

Option 2 : laisser la calculatrice faire le calcul

TI-83 Premium CE :

• Saisir les $x_i$ dans L1 et les $y_i$ dans L2
• Placer le curseur sur l'en-tête de L3
• Saisir : ln(L2) puis entrer
• La liste L3 se remplit automatiquement avec les $z_i$

Casio :

• Saisir les données dans List 1 et List 2
• Sur List 3, formule : ln(List 2)

NumWorks :

• Appli Régressions : il faut calculer manuellement les $z_i$ et les saisir.

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5. Application Excel

5.1 Calculer la colonne des $z_i$

Si les valeurs $y_i$ sont en colonne B (de B2 à B6), saisir en C2 :

=LN(B2)

Puis recopier vers le bas.

5.2 Format du résultat

Pour arrondir à $0{,}001$, utiliser :

=ARRONDI(LN(B2);3)

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8. Fiche de synthèse

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9. Pour aller plus loin

Le chapitre 5 traitera des suites arithmétiques et géométriques, notion essentielle pour modéliser des évolutions en pourcentage (croissance/décroissance d'un placement, d'un stock, d'un nombre de clients).