Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

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Sur chaque branche : probabilité conditionnelle. Pour une feuille : on MULTIPLIE les probas le long du chemin.

0. Rappels indispensables

0.1 Qu'est-ce qu'une probabilité ?

Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure la chance qu'un événement se produise.

• $P(A) = 0$ : événement impossible
• $P(A) = 1$ : événement certain
• $P(A) = 0{,}5$ : il y a une chance sur deux

Une probabilité peut s'exprimer en décimal ($0{,}3$), en fraction ($\frac{3}{10}$) ou en pourcentage ($30\%$).

0.2 Vocabulaire

• Un événement est un fait dont on étudie la chance qu'il se produise
• L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est l'événement « $A$ ne se produit pas »
• L'intersection $A \cap B$ : « $A$ ET $B$ se produisent »
• L'union $A \cup B$ : « $A$ OU $B$ se produit »

0.3 Formules de base

0.4 Conversion pourcentage ↔ probabilité

$30\% = 0{,}30 = \frac{3}{10}$

Quand l'énoncé dit « 30 % des ordinateurs sont fixes », on traduit : $P(F) = 0{,}30$.

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1. Probabilité conditionnelle

1.1 Définition

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, notée $P_B(A)$ (ou $P(A | B)$), est la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est déjà réalisé.

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (\text{avec } P(B) \neq 0)$

1.2 Interprétation

$P_B(A)$ « réduit » l'univers à $B$ : on regarde la chance que $A$ se produise, mais uniquement parmi les cas où $B$ s'est produit.

Exemple BTS CG 2022 : « 38 % des ordinateurs fixes sont reconditionnés » signifie $P_F(R) = 0{,}38$ (probabilité d'être reconditionné, sachant que c'est un fixe).

1.3 Formule clé

De la définition, on déduit : $\boxed{P(A \cap B) = P_B(A) \times P(B) = P_A(B) \times P(A)}$

C'est la formule qu'on utilise sur les arbres pondérés (multiplication le long des branches).

1.4 Bien distinguer les notations

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2. Arbre pondéré

2.1 Construction

Un arbre pondéré représente une situation à plusieurs étapes. Sur chaque branche, on indique la probabilité associée.

Structure typique à deux niveaux :

              ┌── B    (proba P_A(B))
        A ────┤
       /      └── B̄
      /
[début]
      \
       \      ┌── B    (proba P_Ā(B))
        Ā ────┤
              └── B̄

2.2 Règles de l'arbre

Règle 1 (somme des branches au même niveau) : la somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud est égale à $1$.

Exemple : $P(A) + P(\bar{A}) = 1$, et $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$.

Règle 2 (produit le long d'un chemin) : la probabilité d'arriver au bout d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités des branches.

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

Règle 3 (somme des chemins) : la probabilité d'un événement final se calcule en additionnant les probabilités de tous les chemins qui y mènent.

2.3 Cas particulier au BTS CG : arbre à 3 branches

Au BTS CG, on rencontre souvent des arbres à 3 branches au premier niveau (3 catégories de produits, 3 fournisseurs, etc.).

Exemple BTS CG 2022 :

• 30 % d'ordinateurs fixes → 38 % reconditionnés
• 45 % d'ordinateurs portables → 10 % reconditionnés
• 25 % d'ordinateurs tablettes → 2 % reconditionnés

Premier niveau : $P(F) = 0{,}30$, $P(B) = 0{,}45$, $P(T) = 0{,}25$ (qui font bien $1$).

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3. Formule des probabilités totales

3.1 Cas à deux événements

Avec un événement $A$ et son contraire $\bar{A}$ : $\boxed{P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)}$

3.2 Cas à trois événements (typique BTS CG)

Avec trois cas $A_1, A_2, A_3$ qui forment une partition : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B)$

Exemple BTS CG 2022 : $P(R) = P(F \cap R) + P(B \cap R) + P(T \cap R)$ $= 0{,}30 \times 0{,}38 + 0{,}45 \times 0{,}10 + 0{,}25 \times 0{,}02$ $= 0{,}114 + 0{,}045 + 0{,}005 = 0{,}164$

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4. Probabilité conditionnelle inverse

4.1 Démarche

Souvent, l'énoncé donne $P_A(B)$ et demande de calculer $P_B(A)$.

Démarche :

1. Calculer $P(A \cap B)$ avec l'arbre
2. Calculer $P(B)$ avec la formule des probabilités totales
3. Appliquer : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

4.2 Cas typique

Question : « On sait qu'un ordinateur est reconditionné. Quelle est la probabilité que ce soit un ordinateur fixe ? »

C'est $P_R(F) = \dfrac{P(F \cap R)}{P(R)}$.

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5. Indépendance

5.1 Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

Caractérisation : $A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

5.2 Méthode pour tester

1. Calculer $P(A \cap B)$
2. Calculer $P(A) \times P(B)$
3. Comparer :
   • Si égaux → indépendants
   • Si différents → non indépendants

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6. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Construire un arbre pondéré

Démarche :

1. Identifier les deux niveaux d'événements
2. Tracer l'arbre avec toutes les branches
3. Reporter les probabilités en utilisant l'énoncé
4. Vérifier que la somme des branches d'un même nœud fait $1$

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer $P(A \cap B)$ avec un arbre

Démarche :

1. Identifier le chemin qui correspond à $A \cap B$
2. Multiplier les probabilités le long de ce chemin

Exemple : $P(F \cap R) = P(F) \times P_F(R) = 0{,}30 \times 0{,}38 = 0{,}114$.

🔧 MÉTHODE 3 — Démontrer que $P(B) = \ldots$ (probabilités totales)

Démarche :

1. Identifier tous les chemins menant à $B$
2. Calculer la probabilité de chaque chemin
3. Additionner
4. Vérifier que le résultat correspond à la valeur attendue

🔧 MÉTHODE 4 — Calculer une probabilité conditionnelle inverse

Démarche :

1. Calculer $P(A \cap B)$
2. Calculer $P(B)$ (probabilités totales)
3. Appliquer : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
4. Arrondir et interpréter

🔧 MÉTHODE 5 — Calculer une probabilité conditionnelle dans un événement contraire

Énoncé typique BTS CG 2022 : « L'ordinateur n'est pas reconditionné. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une tablette ? »

C'est $P_{\bar{R}}(T)$.

Démarche :

1. Calculer $P(T \cap \bar{R}) = P(T) \times P_T(\bar{R}) = 0{,}25 \times 0{,}98 = 0{,}245$
2. Calculer $P(\bar{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}164 = 0{,}836$
3. $P_{\bar{R}}(T) = \dfrac{0{,}245}{0{,}836} \approx 0{,}293$

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7. Notice calculatrice

Pour ce chapitre, aucune fonction spécifique n'est nécessaire. La calculatrice sert uniquement à effectuer les multiplications et divisions.

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10. Fiche de synthèse

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11. Pour aller plus loin

Le chapitre 8 traitera de la loi binomiale, qui modélise des répétitions d'épreuves indépendantes (par exemple : prélever 1000 pots de compote et compter combien sont d'une certaine saveur).