La loi binomiale

0. Rappels indispensables

0.1 Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une grandeur dont la valeur dépend du hasard.

Exemple : prélever 150 étudiants et compter le nombre d'étudiants en retard. Le résultat varie d'un échantillon à l'autre. On note $X$ cette variable.

$X$ peut prendre les valeurs $0, 1, 2, \ldots, 150$.

0.2 Notations

0.3 Espérance

L'espérance $E(X)$ est la « valeur moyenne » que prend $X$ sur un grand nombre d'expériences.

1. La loi binomiale : situation modélisée

1.1 Définition

La loi binomiale modélise une situation où l'on répète $n$ fois une même expérience aléatoire dans les conditions suivantes :

1. Chaque répétition a deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$)
2. Les répétitions sont indépendantes
3. La probabilité $p$ est la même à chaque répétition

On compte alors le nombre de succès $X$ obtenus sur les $n$ répétitions. La variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée :

$X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$

1.2 Exemples typiques au BTS CG

1.3 Comment reconnaître une loi binomiale ?

L'énoncé contient typiquement les mots-clés :

• « on prélève un échantillon de … »
• « la proportion de … est $p$ »
• « on suppose les tirages indépendants » ou « avec remise »
• « le nombre étant assez grand, on assimile cette expérience à un tirage avec remise » (cas BTS CG 2023)
• « on note $X$ le nombre de … »

2. Formules de la loi binomiale

2.1 Probabilité d'obtenir exactement $k$ succès

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

2.2 Espérance

Exemple BTS CG 2023 : $n = 150$, $p = 0{,}2$.

• $E(X) = 150 \times 0{,}2 = 30$.
• En moyenne, on s'attend à 30 étudiants en retard sur 150.

2.3 Question type : « combien arriveront à l'heure ? »

Si $X$ compte les étudiants en retard, alors le nombre d'étudiants à l'heure est en moyenne : $n - E(X) = 150 - 30 = 120$

3. Notice calculatrice

3.1 TI-83 Premium CE

Pour $P(X = k)$ :

• 2nde → var (DISTR) → choisir binomFdp( (ou binomPdf()
• Saisir : binomFdp(n, p, k) → entrer

Pour $P(X \leq k)$ :

• 2nde → var (DISTR) → choisir binomFRép( (ou binomCdf()
• Saisir : binomFRép(n, p, k) → entrer

3.2 Casio Graph 35+/90+

Pour $P(X = k)$ :

• Menu STAT → DIST → BINM → Bpd
• Saisir Numtrial = n, p = p, et la valeur x = k

Pour $P(X \leq k)$ :

• Menu STAT → DIST → BINM → Bcd
• Saisir Lower = 0, Upper = k, Numtrial = n, p = p

3.3 NumWorks

• Application Probabilités (ou Lois)
• Choisir Loi binomiale
• Saisir $n$ et $p$
• Choisir le mode :
  • P(X = k) pour une valeur exacte
  • P(a ≤ X ≤ b) pour un intervalle
• Lire le résultat

3.4 Essaie en direct

4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Justifier qu'une variable suit une loi binomiale

Démarche : vérifier les 3 conditions :

1. Répétitions : $n$ épreuves identiques
2. Indépendance (souvent admise via « tirage avec remise » ou « grand nombre »)
3. Bernoulli : deux issues (succès/échec) avec proba $p$ constante

Rédaction type : « On répète $n = \ldots$ fois la même expérience aléatoire. Chaque répétition a deux issues : "succès" (probabilité $p = \ldots$) et "échec". Les répétitions sont indépendantes (tirage avec remise). Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. »

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer $P(X = k)$

Démarche :

1. Identifier $n$, $p$, $k$
2. Utiliser la calculatrice
3. Arrondir et interpréter

🔧 MÉTHODE 3 — Calculer $P(X \leq k)$

Démarche :

1. Identifier $n$, $p$, $k$
2. Utiliser la calculatrice : binomFRép(n, p, k) (TI), Bcd (Casio)
3. Arrondir et interpréter

🔧 MÉTHODE 4 — Calculer l'espérance et l'interpréter

Démarche :

1. Calculer $E(X) = np$
2. Interpréter dans le contexte : « en moyenne, on s'attend à $E(X)$ … »

🔧 MÉTHODE 5 — Calculer le nombre complémentaire

Énoncé typique : « Combien d'étudiants en moyenne arriveront à l'heure ? »

Démarche :

1. Si $X$ compte les retards : $E(X) = np$ retardataires
2. Le nombre d'étudiants à l'heure est $n - E(X)$

7. Fiche de synthèse

8. Pour aller plus loin

Le chapitre 9 traitera de la loi normale, la loi continue la plus importante du programme : elle apparaît dans 3 sessions sur 4 au BTS CG.