La loi normale

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Règle des 68 - 95 - 99,7 % : la zone orange contient ~68 % des valeurs (entre μ−σ et μ+σ).

0. Rappels indispensables

0.1 Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue prend des valeurs dans un intervalle de réels (et non plus dans un ensemble discret comme la loi binomiale).

Exemples :

• la durée de vie d'un appareil (en jours)
• le poids d'un pot de compote (en grammes)
• la durée d'un parcours (en minutes)

Pour une variable continue, la probabilité d'une valeur exacte est toujours nulle : $P(X = a) = 0$.

0.2 Densité de probabilité

Pour une variable continue $X$, la probabilité $P(a \leq X \leq b)$ est représentée par l'aire sous la courbe d'une fonction $f$ appelée densité, entre les abscisses $a$ et $b$.

Propriétés essentielles d'une densité :

• $f(x) \geq 0$ (toujours positive)
• L'aire totale sous la courbe est $1$ (probabilité totale)

0.3 Espérance et écart-type

Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de $\mu$.

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1. La loi normale

1.1 Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ (espérance) et $\sigma$ (écart-type) si sa densité a la forme d'une « courbe en cloche » centrée sur $\mu$.

On note : $X \sim \mathcal{N}(\mu,\,\sigma)$

1.2 Caractéristiques de la courbe en cloche

Allure :

• En forme de cloche symétrique
• Centrée sur $\mu$ (le maximum est en $x = \mu$)
• L'aire totale sous la courbe vaut $1$

Lecture graphique :

• Plus $\sigma$ est petit, plus la cloche est étroite et haute
• Plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est large et aplatie

1.3 Comment reconnaître la bonne courbe ?

Au BTS CG, on demande souvent d'identifier la courbe parmi 4 possibilités (cas BTS 2022 partie B). Pour cela, on vérifie :

1. Symétrie autour de $\mu$ : le sommet est-il bien situé en $x = \mu$ ?
2. Aire = 1 : la courbe doit avoir une aire totale unitaire (donc une hauteur cohérente avec sa largeur)
3. Toujours positive : pas de valeurs négatives
4. Forme en cloche : pas de pics trop fins ni de plateaux

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2. Règles essentielles à connaître par cœur

2.1 Symétrie

Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ : $P(X \leq \mu) = P(X \geq \mu) = 0{,}5$

Conséquence : $P(X \leq a) + P(X \geq a) = 1$, donc $P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a)$.

2.2 Règle des écart-types (très importante au BTS CG)

2.3 Exemple BTS CG 2025 (Partie B)

Pour $T \sim \mathcal{N}(90, 15)$ (durée de parcours en minutes) :

• $a = 90 - 2 \times 15 = 60$ minutes
• $b = 90 + 2 \times 15 = 120$ minutes
• $P(60 \leq T \leq 120) \approx 0{,}95$

Environ 95 % des visiteurs mettent entre 1h et 2h pour parcourir l'écoparc.

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3. Calcul de probabilités à la calculatrice

3.1 TI-83 Premium CE

Pour $P(a \leq X \leq b)$ :

• 2nde → var (DISTR) → choisir normalFRép( (ou normalcdf()
• Saisir : normalFRép(a, b, μ, σ) → entrer

Cas particuliers :

• $P(X \leq a)$ : normalFRép(-1E99, a, μ, σ) (ou borne très basse comme $-10^{99}$)
• $P(X \geq a)$ : normalFRép(a, 1E99, μ, σ) (ou borne très haute)

3.2 Casio Graph 35+/90+

Pour $P(a \leq X \leq b)$ :

• Menu STAT → DIST → NORM → Ncd
• Saisir : Lower = a, Upper = b, σ = écart-type, μ = moyenne

3.3 NumWorks

• Application Probabilités (ou Lois)
• Choisir Loi normale
• Saisir $\mu$ et $\sigma$
• Choisir le mode :
  • P(a ≤ X ≤ b) pour un intervalle
  • P(X ≤ a) pour une borne haute
  • P(X ≥ a) pour une borne basse
• Lire le résultat

3.4 Essaie en direct

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4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer $P(a \leq X \leq b)$

Démarche :

1. Identifier $\mu$ et $\sigma$
2. Utiliser la calculatrice (cf. notice §3)
3. Arrondir et interpréter

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer $P(X \leq a)$ ou $P(X \geq a)$

Démarche :

1. Identifier $\mu$, $\sigma$, $a$
2. Utiliser la calculatrice avec une borne très grande/petite ($\pm 10^{99}$)
3. Alternative : utiliser la symétrie

🔧 MÉTHODE 3 — Identifier la courbe de densité

Démarche :

1. Repérer le sommet : doit être en $x = \mu$
2. Vérifier l'aire : pas trop grande, pas trop petite (= 1 au total)
3. Vérifier la forme : symétrique, cloche
4. Conclure en éliminant les courbes incompatibles

🔧 MÉTHODE 4 — Trouver $a$ et $b$ tels que $P(a \leq X \leq b) \approx 0{,}95$

Démarche :

1. Utiliser la règle des $95\%$ : $a = \mu - 2\sigma$ et $b = \mu + 2\sigma$
2. Calculer
3. Interpréter dans le contexte

🔧 MÉTHODE 5 — Calculer un nombre d'individus à partir d'une probabilité

Énoncé typique BTS CG 2024 : « Sur 550 000 pots produits, $1{,}2\%$ ne sont pas conformes. Combien de pots non conformes ? »

Démarche :

1. Multiplier l'effectif total par la probabilité : $550\,000 \times 0{,}012 = 6\,600$ pots
2. Si l'énoncé demande un montant : multiplier par le prix unitaire

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5. Exemple complet rédigé : la garantie d'un produit

Cas BTS CG 2022 (Partie B) :

Démarche :

1. La garantie « tient » si l'ordinateur dépasse 365 jours sans panne. On calcule donc $P(X \geq 365)$.

2. À la calculatrice : $P(X \geq 365) \approx 0{,}991$.

3. Interprétation : environ $99{,}1\%$ des ordinateurs durent plus d'un an sans tomber en panne. La garantie d'un an est donc « confortable » pour le revendeur : il y a moins de $1\%$ de pannes à prendre en charge.

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6. Application Excel

Excel propose une fonction LOI.NORMALE.N(x; μ; σ; cumulative) :

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9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 10 ouvrira le bloc mathématiques financières, spécificité du BTS CG, avec l'étude des intérêts simples et composés.