Mathématiques financières : intérêts simples et composés

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Composés = intérêts SUR les intérêts → croissance exponentielle, écart qui s'accentue.

0. Rappels indispensables

0.1 Vocabulaire de base

0.2 Conversion de taux

Un taux peut être annuel, mensuel, trimestriel...

0.3 Coefficient multiplicateur (rappel chapitre 1)

Exemple : si $t = 4\% = 0{,}04$, alors $1 + t = 1{,}04$.

0.4 Taux décimal vs taux pourcentage

Toujours convertir avant un calcul :

• $4\% = 0{,}04$
• $0{,}5\% = 0{,}005$
• $2{,}5\% = 0{,}025$

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1. Intérêts simples

1.1 Principe

Avec les intérêts simples, les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial $C$ (ils ne s'ajoutent pas au capital pour produire de nouveaux intérêts).

C'est l'option la plus courante pour les placements à très court terme (livret de quelques mois, par exemple).

1.2 Formules

Intérêts produits sur $n$ périodes : $I = C \times t \times n$

Valeur acquise après $n$ périodes : $V_n = C + I = C(1 + tn)$

1.3 Exemple

Un capital de $5\,000€$ est placé à $4\%$ par an pendant $3$ ans, à intérêts simples.

• Intérêts par an : $5\,000 \times 0{,}04 = 200€$
• Intérêts sur 3 ans : $200 \times 3 = 600€$
• Valeur acquise : $5\,000 + 600 = 5\,600€$

Vérification avec la formule : $V_3 = 5\,000 \times (1 + 0{,}04 \times 3) = 5\,000 \times 1{,}12 = 5\,600€$. ✓

1.4 Utilisation au BTS CG

Les intérêts simples sont peu fréquents au BTS CG, mais peuvent apparaître pour :

• des prêts à très court terme
• la première ligne d'un tableau d'amortissement (intérêts du premier mois)

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2. Intérêts composés

2.1 Principe

Avec les intérêts composés, les intérêts s'ajoutent au capital à la fin de chaque période et produisent eux-mêmes des intérêts à la période suivante.

C'est le mode de calcul standard pour :

• les placements de plus d'un an (livret A, plan d'épargne...)
• la majorité des emprunts (crédit immobilier, crédit conso...)
• les calculs d'évolution de chiffre d'affaires (chapitre 5)

2.2 Formule fondamentale

Si on place $C$ au taux $t$ par période, à intérêts composés : $\boxed{V_n = C \times (1 + t)^n}$

C'est exactement la formule d'une suite géométrique de raison $1 + t$ (chapitre 5).

2.3 Lien avec les chapitres précédents

2.4 Exemple

Un capital de $5\,000€$ est placé à $4\%$ par an pendant $3$ ans, à intérêts composés.

$V_3 = 5\,000 \times (1{,}04)^3 \approx 5\,000 \times 1{,}1249 \approx 5\,624{,}32€$

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3. Valeur actuelle (problème inverse)

3.1 Principe

Question typique : quelle somme $C$ faut-il placer aujourd'hui pour obtenir $V_n$ dans $n$ années, à un taux $t$ ?

Démarche : on inverse la formule des intérêts composés : $V_n = C \times (1 + t)^n \iff C = \frac{V_n}{(1+t)^n} = V_n \times (1+t)^{-n}$

3.2 Exemple

Quelle somme placer aujourd'hui à $3\%$ par an pour obtenir $10\,000€$ dans 5 ans ?

$C = \frac{10\,000}{(1{,}03)^5} \approx \frac{10\,000}{1{,}1593} \approx 8\,626{,}09€$

Il faut placer environ $8\,626€$ aujourd'hui.

3.3 Importance pour la suite

Cette notion sert à comprendre la formule de l'annuité constante (chapitre 11) : $a = V_0 \times \frac{t}{1 - (1+t)^{-n}}$

L'actualisation (le facteur $(1 + t)^{-n}$) joue un rôle central dans le calcul des emprunts.

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4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer une valeur acquise (intérêts composés)

Démarche :

1. Identifier $C$ (capital), $t$ (taux par période, en décimal), $n$ (nombre de périodes)
2. Vérifier la cohérence : si le taux est annuel, $n$ est en années ; si mensuel, en mois
3. Appliquer : $V_n = C(1+t)^n$
4. Arrondir au centime

🔧 MÉTHODE 2 — Calculer les intérêts produits

Démarche :

1. Calculer $V_n$
2. Soustraire $C$ : $I = V_n - C$

🔧 MÉTHODE 3 — Calculer une valeur actuelle

Démarche :

1. Identifier $V_n$, $t$, $n$
2. Appliquer : $C = \dfrac{V_n}{(1+t)^n}$
3. Arrondir au centime

🔧 MÉTHODE 4 — Comparer deux placements

Démarche :

1. Calculer $V_n$ pour chaque placement
2. Comparer
3. Conclure

🔧 MÉTHODE 5 — Trouver la durée pour atteindre un seuil

Énoncé typique : « En combien de temps mon capital double-t-il à $5\%$ par an ? »

Démarche :

1. On veut $V_n \geq 2C$, soit $C(1{,}05)^n \geq 2C$, soit $(1{,}05)^n \geq 2$
2. Appliquer $\ln$ : $n \ln(1{,}05) \geq \ln(2)$
3. Diviser : $n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2$
4. Conclusion : il faut 15 ans pour doubler.

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5. Notice calculatrice

Pour les calculs d'intérêts, aucune fonction spécifique n'est nécessaire. Tout se fait avec les opérations de base.

5.1 Calcul d'une puissance

5.2 Astuce : utiliser les variables

On peut stocker le coefficient multiplicateur dans une variable :

• TI : 1.04 STO→ A puis A^5
• NumWorks : utiliser la mémoire Ans

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6. Application Excel

6.1 Formule directe

6.2 Fonction VC (Valeur Cumulée)

Excel propose la fonction VC :

=VC(taux; nombre_périodes; -versement; -valeur_actuelle)

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9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 11 traitera des emprunts à annuités constantes : la formule de calcul de l'annuité $a = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1+t)^{-n}}$ et la construction du tableau d'amortissement — incontournable du BTS CG, tombé dans 3 sessions sur 4.