Emprunts, annuités constantes et tableau d'amortissement

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L'annuité reste constante ; mais la part d'intérêts (orange) baisse, l'amortissement (vert) augmente.

0. Rappels indispensables

0.1 Vocabulaire d'un emprunt

0.2 Formule de l'annuité (donnée à l'examen)

$a = V_0 \times \frac{t}{1 - (1+t)^{-n}}$

0.3 Conversion taux annuel ↔ taux mensuel

Pour un emprunt à mensualités au taux annuel $T$ :

• Le taux mensuel proportionnel est : $t_m = T / 12$

Exemple BTS CG 2022 : taux mensuel donné directement = $0{,}5\%$ par mois. Exemple BTS CG 2023 : taux annuel = $2{,}5\%$, donc mensualités annuelles → on garde $2{,}5\%$ pour des annuités.

0.4 Lien avec les chapitres précédents

• L'annuité $a$ est calculée pour que la somme actualisée des $a$ versés soit égale à $V_0$
• Cette idée fait directement le lien avec le chapitre 10 (valeur actuelle)

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1. Mécanisme d'un emprunt à annuités constantes

1.1 Idée

L'emprunteur rembourse toujours la même somme $a$ à chaque période. Mais la répartition entre intérêts et amortissement change :

• Au début : on doit beaucoup → les intérêts sont gros, l'amortissement est petit
• À la fin : on doit peu → les intérêts sont petits, l'amortissement est gros

1.2 Calcul de l'annuité

L'annuité $a$ est donnée par la formule fournie à l'examen : $a = V_0 \times \frac{t}{1 - (1+t)^{-n}}$

Exemple BTS CG 2022 :

• $V_0 = 1\,500€$ (prêt à la consommation)
• $t = 0{,}005$ (taux mensuel)
• $n = 12$ mensualités

$a = 1\,500 \times \frac{0{,}005}{1 - (1{,}005)^{-12}}$

Calcul :

• $(1{,}005)^{-12} \approx 0{,}9419$
• $1 - 0{,}9419 = 0{,}0581$
• $a = 1\,500 \times \dfrac{0{,}005}{0{,}0581} \approx 1\,500 \times 0{,}0861 \approx 129{,}10€$

La mensualité est d'environ $129{,}10€$. ✓

1.3 Cas BTS CG 2023

• $V_0 = 4\,500€$ (achat voiture)
• $t = 0{,}025$ (taux annuel)
• $n = 4$ annuités

$a = 4\,500 \times \frac{0{,}025}{1 - (1{,}025)^{-4}} \approx 4\,500 \times \frac{0{,}025}{0{,}0941} \approx 1\,196{,}18€$

L'annuité est d'environ $1\,196{,}18€$. ✓

1.4 Cas BTS CG 2025

• $V_0 = 110\,000€$ (emprunt accrobranche)
• $t = 0{,}039$ (taux annuel)
• $n = 4$ annuités

$a = 110\,000 \times \frac{0{,}039}{1 - (1{,}039)^{-4}} \approx 30\,232{,}52€$

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2. Le tableau d'amortissement

2.1 Structure standard

Un tableau d'amortissement comporte généralement les 6 colonnes suivantes :

2.2 Calcul des cellules

Pour chaque ligne :

Colonne « Intérêts » : on multiplie le capital restant dû en début par le taux $t$. $I_k = D_k^{\text{début}} \times t$

Colonne « Amortissement » : c'est l'annuité moins les intérêts. $A_k = a - I_k$

Colonne « Capital restant dû en fin » : c'est le capital de début moins l'amortissement. $D_k^{\text{fin}} = D_k^{\text{début}} - A_k$

Colonne « Capital restant dû en début » de la ligne suivante : c'est le capital de fin de la ligne précédente. $D_{k+1}^{\text{début}} = D_k^{\text{fin}}$

2.3 Exemple BTS CG 2022 (Partie C)

Capital emprunté : $1\,500€$. Mensualité : $129{,}10€$. Taux mensuel : $0{,}5\%$.

Mois 1 :

• Capital restant dû en début : $1\,500{,}00€$
• Intérêts : $1\,500 \times 0{,}005 = 7{,}50€$
• Amortissement : $129{,}10 - 7{,}50 = 121{,}60€$
• Capital restant dû en fin : $1\,500 - 121{,}60 = 1\,378{,}40€$

Mois 2 :

• Capital restant dû en début : $1\,378{,}40€$
• Intérêts : $1\,378{,}40 \times 0{,}005 = 6{,}89€$
• Amortissement : $129{,}10 - 6{,}89 = 122{,}21€$
• Capital restant dû en fin : $1\,378{,}40 - 122{,}21 = 1\,256{,}19€$ ✓

(Cohérent avec l'énoncé qui donne $1\,256{,}19€$ pour le mois 3 en début de mois.)

2.4 Vérifications utiles

• À la dernière période, le capital restant dû en fin doit être $0$ (à quelques centimes près).
• La somme des amortissements doit être égale à $V_0$.
• La somme des annuités doit être égale au coût total du remboursement.

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3. Coût total du crédit

3.1 Définition

Le coût total du crédit est la différence entre la somme totale remboursée et le capital emprunté : $\text{Coût} = (n \times a) - V_0$

C'est aussi la somme totale des intérêts payés sur la durée du prêt.

3.2 Exemple BTS CG 2022

• Annuité : $129{,}10€$ × 12 mensualités = $1\,549{,}20€$ remboursés
• Capital emprunté : $1\,500€$
• Coût du crédit : $1\,549{,}20 - 1\,500 = 49{,}20€$

3.3 Exemple BTS CG 2023

• Annuité : $1\,196{,}18€$ × 4 ans = $4\,784{,}72€$
• Capital emprunté : $4\,500€$
• Coût du crédit : $4\,784{,}72 - 4\,500 = 284{,}72€$

3.4 Exemple BTS CG 2025

• Annuité : $30\,232{,}52€$ × 4 ans = $120\,930{,}08€$
• Capital emprunté : $110\,000€$
• Coût du crédit : $120\,930{,}08 - 110\,000 = 10\,930{,}08€$

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4. Formules Excel pour un tableau d'amortissement

4.1 Disposition standard

Considérons la disposition suivante (cas BTS CG 2023) :

4.2 Formules typiques

Cellule C2 (intérêts du 1er mois) : c'est B2 × taux. On pose :

=B2*0,025

ou avec une cellule fixée pour le taux (par exemple en H1) :

=B2*$H$1

Cellule D2 (amortissement) :

=E2-C2

Cellule F2 (dette en fin) :

=B2-D2

Cellule B3 (dette en début, ligne suivante) :

=F2

4.3 Cas BTS CG 2025 (formules demandées)

Cellule C2 (intérêts) : $4\,290 = 110\,000 \times 0{,}039$. Avec le taux dans une cellule fixée (par exemple H1 = 3,9 % = 0,039) :

=B2*$H$1

Ou directement avec la valeur :

=B2*0,039

Cellule F2 (dette en fin) : $84\,057{,}48 = 110\,000 - (30\,232{,}52 - 4\,290)$. C'est $B2 - (E2 - C2)$, soit :

=B2-E2+C2

ou plus simplement, si la colonne D contient les amortissements :

=B2-D2

4.4 Recopiage vers le bas

En recopiant vers le bas, les références relatives (B2, C2, etc.) deviennent B3, C3, etc. Les références absolues ($H$1) restent fixes.

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5. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Calculer l'annuité $a$

Démarche :

1. Identifier $V_0$, $t$ (en décimal !), $n$
2. Calculer $(1+t)^{-n}$
3. Calculer $1 - (1+t)^{-n}$
4. Calculer $\dfrac{t}{1 - (1+t)^{-n}}$
5. Multiplier par $V_0$
6. Vérifier que le résultat correspond à la valeur attendue (souvent donnée par l'énoncé)

🔧 MÉTHODE 2 — Compléter une cellule du tableau d'amortissement

Démarche :

1. Identifier la nature de la cellule (intérêts, amortissement, dette...)
2. Appliquer la formule correspondante
3. Vérifier la cohérence avec les cellules voisines

🔧 MÉTHODE 3 — Écrire une formule Excel

Démarche :

1. Identifier la cellule à remplir
2. Identifier les cellules sources (référencer leur position : B2, C2, etc.)
3. Écrire la formule avec ou sans $ selon que la référence doit être fixe ou relative
4. Vérifier en imaginant le recopiage : la formule doit toujours fonctionner

🔧 MÉTHODE 4 — Calculer le coût total du crédit

Démarche :

1. Calculer la somme totale remboursée : $S = n \times a$
2. Soustraire le capital emprunté : $\text{coût} = S - V_0$
3. Conclure

🔧 MÉTHODE 5 — Calculer le pourcentage emprunté

Énoncé typique BTS CG 2023 : « Quel pourcentage du prix de la voiture représente le montant emprunté ? »

Démarche :

1. Calculer $\dfrac{V_0}{\text{prix total}} \times 100$
2. Arrondir selon la précision demandée

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6. Notice calculatrice

Pour ce chapitre, aucune fonction spécifique n'est nécessaire. La calculatrice sert uniquement à effectuer la formule.

6.1 Astuce : utiliser une variable

Pour calculer $a$ sans erreur, on peut décomposer :

• TI : 1.005^(-12) STO→ A, puis 1500 * 0.005 / (1 - A)
• Casio/NumWorks : utiliser Ans ou la mémoire

6.2 Pour construire le tableau

On peut utiliser :

• Excel (le plus simple)
• Le mode SUITE d'une calculatrice (en programmant la récurrence sur le capital restant dû)

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9. Fiche de synthèse

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10. Pour aller plus loin

Le chapitre 12 traitera plus en profondeur des formules Excel : références relatives/absolues, recopier vers la droite ou vers le bas, formules typiques en gestion. C'est une compétence transversale très évaluée au BTS CG (3 sessions sur 4).