Étude de fonctions : dérivée, optimisation et maximum

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Au point où f'(x) = 0 ET change de signe (+ → −), la fonction admet un MAXIMUM.

0. Rappels indispensables

0.1 Notion de fonction

Une fonction $f$ associe à chaque valeur $x$ une unique valeur $f(x)$.

Exemples :

• $f(x) = 2x + 3$ : fonction affine
• $f(x) = x^2$ : fonction carrée
• $f(x) = -4{,}9 x^2 + 919 x$ : polynôme du 2nd degré (cas BTS 2025)

0.2 Représentation graphique

Le graphe de $f$ est l'ensemble des points $(x, f(x))$ représentés dans un repère.

• Une fonction affine donne une droite
• Une fonction du second degré donne une parabole

0.3 Lire un graphe

À partir du graphe, on peut lire :

• Si la fonction est croissante ($f$ monte) ou décroissante ($f$ descend)
• Le maximum de la fonction (point le plus haut du graphe)
• Le minimum (point le plus bas)

0.4 Variations d'une fonction

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1. La dérivée

1.1 Idée intuitive

La dérivée $f'(x)$ représente la pente du graphe de $f$ au point d'abscisse $x$.

• Si $f'(x) > 0$ : la pente est positive, $f$ est croissante
• Si $f'(x) < 0$ : la pente est négative, $f$ est décroissante
• Si $f'(x) = 0$ : la pente est nulle, $f$ a un extremum local (maximum ou minimum)

1.2 Formules de dérivation

1.3 Règles de dérivation

Règle 1 — Somme : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées. $\big(f(x) + g(x)\big)' = f'(x) + g'(x)$

Règle 2 — Produit par une constante : $(k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x)$.

1.4 Exemple : dérivée d'un polynôme du 2nd degré

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a, b, c$ constants.

$f'(x) = 2ax + b$

Exemple BTS CG 2025 :

$R(x) = -4{,}9 x^2 + 919 x$

$R'(x) = -4{,}9 \times 2x + 919 = -9{,}8 x + 919$

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2. Signe de la dérivée et variations

2.1 Lien dérivée → variations

2.2 Tableau de signe / variations

Pour étudier les variations d'une fonction, on construit un tableau de variations :

1. Calculer $f'(x)$
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs où la dérivée s'annule
3. Étudier le signe de $f'(x)$ (avant, entre, après ces valeurs)
4. En déduire les variations de $f$

2.3 Exemple BTS CG 2025

$R(x) = -4{,}9 x^2 + 919 x$ sur $[80, 180]$.

$R'(x) = -9{,}8 x + 919$.

Résolution de $R'(x) = 0$ : $-9{,}8 x + 919 = 0 \iff x = \dfrac{919}{9{,}8} \approx 93{,}78$

Signe de $R'(x)$ :

• Pour $x < 93{,}78$ : $R'(x) > 0$ (car le coefficient $-9{,}8$ est négatif et $-9{,}8 \times \text{petit} + 919 > 0$)
• Pour $x > 93{,}78$ : $R'(x) < 0$

Tableau de variations :

$R$ admet un maximum en $x = 93{,}78$.

2.4 Cas particulier : sommet d'une parabole

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a < 0$ (parabole « tournée vers le bas »), la fonction admet un maximum au sommet.

Coordonnées du sommet : $\boxed{x_0 = -\dfrac{b}{2a}}$

Et le maximum est $f(x_0)$.

Pour $a > 0$ (parabole « tournée vers le haut »), c'est un minimum en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

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3. Optimisation : recherche d'un maximum

3.1 Démarche en 4 étapes

1. Calculer la dérivée $f'(x)$
2. Résoudre $f'(x) = 0$
3. Étudier le signe de $f'(x)$ pour identifier l'extremum
4. Calculer la valeur de l'extremum $f(x_0)$ et interpréter

3.2 Exemple complet : maximisation d'un chiffre d'affaires

Énoncé BTS CG 2025 (Partie B) :

Le chiffre d'affaires mensuel d'un hôtel, en euros, est modélisé par : $R(x) = -4{,}9 x^2 + 919 x \quad \text{pour } x \in [80, 180]$

où $x$ est le prix d'une nuitée.

Question : déterminer le prix qui rend le chiffre d'affaires maximal.

Solution rédigée :

Étape 1 : $R'(x) = -9{,}8 x + 919$.

Étape 2 : $R'(x) = 0 \iff x = \dfrac{919}{9{,}8} \approx 93{,}78$.

Étape 3 : $R'$ est une fonction affine décroissante (pente $-9{,}8 < 0$).

• Sur $[80\,;\,93{,}78]$ : $R'(x) > 0$ donc $R$ est croissante
• Sur $[93{,}78\,;\,180]$ : $R'(x) < 0$ donc $R$ est décroissante

Donc $R$ admet un maximum en $x_0 \approx 94€$ (arrondi à l'euro).

Étape 4 : Calcul du maximum : $R(94) = -4{,}9 \times 94^2 + 919 \times 94 = -4{,}9 \times 8836 + 86\,386 = -43\,296{,}4 + 86\,386 = 43\,089{,}6€$

Le chiffre d'affaires maximum est environ $43\,090€$ (arrondi à l'euro), atteint pour un prix de $94€$ par nuitée.

3.3 Vérification avec la formule du sommet

Avec $a = -4{,}9$ et $b = 919$ : $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{919}{2 \times (-4{,}9)} = \dfrac{919}{9{,}8} \approx 93{,}78$ ✓

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4. Méthodes-types

🔧 MÉTHODE 1 — Dériver un polynôme

Démarche :

1. Décomposer la fonction terme à terme
2. Dériver chaque terme avec la règle $kx^n \to nkx^{n-1}$
3. Recombiner les dérivées

Exemple : $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$

• Dérivée de $3x^3$ : $9x^2$
• Dérivée de $-5x^2$ : $-10x$
• Dérivée de $7x$ : $7$
• Dérivée de $-2$ : $0$

D'où $f'(x) = 9x^2 - 10x + 7$.

🔧 MÉTHODE 2 — Étudier les variations

Démarche :

1. Calculer $f'(x)$
2. Résoudre $f'(x) = 0$
3. Faire un tableau de signe de $f'(x)$
4. En déduire un tableau de variations de $f$

🔧 MÉTHODE 3 — Trouver le maximum d'un polynôme du 2nd degré

Démarche directe avec la formule du sommet :

1. Identifier $a$ et $b$ dans $f(x) = ax^2 + bx + c$
2. Calculer $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
3. Calculer $f(x_0)$
4. Vérifier que c'est bien un maximum (si $a < 0$) ou un minimum (si $a > 0$)

Démarche par dérivée (préférée pour la rédaction) :

1. Calculer $f'(x)$
2. Résoudre $f'(x) = 0$
3. Étudier le signe et conclure
4. Calculer $f(x_0)$

🔧 MÉTHODE 4 — Interpréter le résultat dans le contexte

Toujours conclure par une phrase qui replace le résultat dans le contexte :

• « Le prix optimal est $x_0$ €. »
• « Le chiffre d'affaires maximal est de $\ldots$ €. »
• « La quantité optimale à produire est $\ldots$. »

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5. Notice calculatrice

5.1 Calculer une dérivée numérique

TI-83 Premium CE :

• MATH → 8:nbreDérivé(
• Saisir : nbreDérivé(f(X), X, valeur) → entrer

Exemple : pour calculer $R'(94)$ avec $R(x) = -4{,}9 x^2 + 919 x$ :

nbreDérivé(-4.9X²+919X, X, 94)

Casio :

• Menu RUN → OPTN → CALC → d/dx
• Saisir : d/dx(f(x), valeur)

NumWorks :

• Application Calculs → diff(f(x), x, valeur)

5.2 Tracer la fonction et trouver le maximum visuellement

TI-83 Premium CE :

• f(X) → entrer la fonction
• graph pour la tracer
• 2nde → trace (CALC) → 4:maximum → suivre les indications
• La calculatrice donne les coordonnées exactes du maximum

NumWorks :

• Application Fonctions → entrer la fonction
• Onglet Graphique → menu → Calculer → Maximum

5.3 Tableau de valeurs (pour vérifier)

TI : 2nde → f(X) (TBLSET), puis 2nde → graph (TABLE).

NumWorks : application Fonctions, onglet Valeurs.

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6. Application Excel

6.1 Tracer une fonction polynôme

1. Créer une colonne A avec les valeurs de $x$ (ex. : 80, 85, 90, ..., 180)
2. Créer une colonne B avec la formule, par exemple :

=-4,9*A2^2+919*A2

3. Sélectionner les deux colonnes → Insertion → Graphique → Nuage de points avec lignes lisses
4. Le maximum apparaît visuellement sur le graphe

6.2 Trouver le maximum avec MAX

=MAX(B2:B22)

Pour identifier la valeur de $x$ correspondante, utiliser INDEX/EQUIV :

=INDEX(A2:A22; EQUIV(MAX(B2:B22); B2:B22; 0))

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9. Fiche de synthèse

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10. Conclusion

Ce chapitre clôt le programme du BTS Comptabilité et Gestion - Mathématiques Appliquées.

Récapitulatif des compétences acquises sur le bloc « Étude de fonction » :

• Reconnaître les paraboles et leur sommet
• Calculer une dérivée polynomiale
• Étudier les variations
• Résoudre un problème d'optimisation comptable

Pour les futures sessions : ce chapitre est le plus récemment apparu (2025). Il est probable qu'il continue d'être présent, sous la forme :

• Recherche d'un prix optimal (maximisation du chiffre d'affaires)
• Recherche d'une quantité optimale (maximisation du bénéfice)
• Recherche d'un coût minimal (minimisation des dépenses)

Le tableau d'amortissement et les pourcentages restent les incontournables absolus de l'épreuve.

Bon courage pour la session 2026 ! 🎓